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«Oggi pare guadagnar sempre più sostenitori l'opinione che l'aritmetica sia una logica più ampia e che la giustificazione più rigorosa delle leggi aritmetiche riporti indietro a leggi puramente logiche e solo ad esse. Sono anch'io di quest'opinione e su di essa fondo la richiesta d'includere la notazione aritmetica in quella logica.»

(Gottlob Frege, Funzione e concetto)

Per mwbqlogicismo si intende il tentativo di ridurre la mwbgmatematica ai concetti ed alle regole della mwbwlogicacite-ref-0-1-0[1]. Secondo le posizioni logiciste per lo sviluppo dell'mwdaaritmetica (e conseguentemente, della matematica stessa) non sarebbero necessari altri concetti che quelli della logica, essendo la matematica fondamentalmente un'applicazione specifica delle leggi universali della logicacite-ref-1-2-0[2]. Ogni concetto, teorema e legge della matematica può essere quindi dedotto e dimostrato partendo dagli mweqassiomi fondamentali della logicacite-ref-1-2-1[2].

Questo pensiero si trova già in mwfwGottfried Leibnizcite-ref-0-1-1[1] che cercava una mwhamwhqcharacteristica universalis, una scienza universale, da cui potessero essere dedotte tutte le altre scienze come istanze specifiche. Comunemente il Logicismo viene associato soprattutto con mwhgGottlob Fregecite-ref-0-1-2[1], mwiwBertrand Russellcite-ref-0-1-3[1] e mwkaAlfred North Whiteheadcite-ref-3[3].

• Contesto storico

• Il tentativo di Frege

• Il tentativo di Russell

• Il fallimento del progetto logicista

• Note

• Bibliografia

• Opere storiche

• Testi contemporanei

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Agli inizi del mwmaXX secolo molti logici e matematici erano interessati a dare un nuovo fondamento alle discipline matematiche. A parte Frege, anche mwmqRichard Dedekind e mwmgGiuseppe Peano volevano ricondurre i concetti fondamentali della matematica, specialmente il concetto di mwmwnumero naturale, a definizioni formali in termini strettamente logici. Molti matematici famosi, quali mwnaKarl Weierstrass, Richard Kronecker e mwngHermann von Helmholtz si erano pronunciati sul concetto di numero alla fine del mwnwXIX secolo, spesso in senso più mwoafilosofico o perfino mwoqpsicologico, tentando di ricondurre il concetto di numero a concetti di altri campi, come il tempo o lo spazio, o cercando le sue origini nel processo di enumerazione. I due grandi schieramenti sono quello dello mwogPsicologismo e quello del mwowFormalismo. Il primo tenta di ridurre le leggi della matematica e della logica ai processi mentali, cercando di definire il concetto di numero in base a come sorge naturalmente nel pensiero. Il secondo pone assiomi che definiscono gli elementi base di un sistema e deducono i teoremi da essi secondo le leggi della logica, ottenendo però un sistema "mwpanominalista", la cui applicazione alle scienze può essere messa in dubbio. Il Logicismo, il quale sostiene che la matematica non ha un proprio dominio, ma tratta puramente di relazioni di idee e che queste relazioni sono analitiche, rientra in questa seconda categoria.

Nella formulazione del logico e matematico mwpwGottlob Frege il programma logicista si prefiggeva due obiettivi:

• risolvere i concetti matematici, anche quelli considerati non ulteriormente definibili e perciò primitivi, in termini puramente logici;

• dimostrare i mwqwteoremi della matematica mediante l'applicazione dei principi e delle regole di inferenza del ragionamento logico.

Frege incontrò un certo successo nello sviluppo di un linguaggio simbolico capace di mwrqformalizzare i ragionamenti: tale linguaggio "ideografico", che si rifaceva ai primi approcci alla formalizzazione intrapresi da mwrgGeorge Boole e faceva uso di strumenti concettuali simili a quelli della mwrwteoria intuitiva degli insiemi di mwsaGeorg Cantor fu esposto da Frege nel suo libro mwsqIdeografia.

Nella teoria semantica di Frege, i predicati denotano concetti: funzioni unarie particolari (il cui codominio contiene solo valori di verità). Per tutti i predicati (o proprietà) vale il seguente assioma di comprensione.

mwtaAssioma di comprensione: assegnazione necessaria a un concetto di una rispettiva "estensione": l'insieme degli oggetti cui il concetto è attribuibile veridicamente; e che è l'insieme vuoto, {∅}, se il concetto è contraddittorio (ad esempio:‘essere diverso da se stesso’).

Dopodiché, Frege definisce il concetto di equinumerositàcite-ref-4[4] ‘avere lo stesso numero di oggetti’: due insiemi sono equinumerosi se collegati da una mwugcorrispondenza biunivoca (ad ogni elemento del primo corrisponde uno e uno solo elemento del secondo; e viceversa). A questo punto, Frege definisce "numero di un dato insieme" come l'insieme di tutti gli insiemi equinumerosi a quello datocite-ref-5[5].

L'assioma di assegnar un'estensione a un concetto equivale a garantire l'esistenza di oggetti che cadono sotto di esso, perciò esiste almeno un ente matematico, lo zero, come l'insieme di tutti gli insiemi equinumerosi all'insieme vuoto che è l'estensione di qualsiasi concetto contraddittorio. Ciò dimostra anche l'infinità dei numeri naturali: poiché lo zero è un oggetto logico, esso è considerabile come elemento, ma allora esiste anche il numero uno come l'insieme di tutti gli insiemi equinumerosi all'insieme ‘zero’ di tutti gli insiemi equinumerosi all'insieme vuoto, che era l'estensione di un concetto contraddittorio dato. E se esistono lo zero e l'uno, allora esistono almeno due oggetti logici procedendo come sopra. E se esistono lo zero, l'uno, e il due, allora esistono almeno tre oggetti logici; e così si procede all'infinito. Frege crede di aver raggiunto dunque gli obbiettivi di garantire l'esistenza di infiniti enti matematici definiti solo da ingredienti logici, con cui è dunque possibile procedere a dimostrare verità aritmetiche.

Ma è lecito porre come assioma necessario il passaggio da un concetto alla sua estensione? E dal fatto che l'estensione di un concetto coincide con quella di un altro concetto, si può concludere che ogni oggetto che cade sotto il primo concetto cade anche sotto il secondo? Ebbene: il 16 giugno 1902, mentre stava scrivendo il secondo volume dei mwwqPrincipi dell'aritmetica, il libro in cui procedeva alla vera e propria riduzione alla logica dei concetti basilari dell'aritmetica stessa, Frege ricevette una lettera in cui mwwgBertrand Russell, uno dei pochi a dimostrare interesse per il programma dell'oscuro pensatore tedesco all'inizio del Novecento, gli comunicava un'mwwwantinomia fondamentale che vanificava la sua intera opera, dimostrando la mwxacontraddittorietà dell'assioma di comprensione su cui Frege si era basato. L'antinomia è oggi nota con il nome di mwxqparadosso di Russell.

Frege pubblicò comunque nel 1903 il secondo volume dei mwxwPrincipi dell'aritmetica, riportandovi l'antinomia di Russell come aggiunta, esposta in questo modo:

«A uno scrittore di scienza ben poco può giungere più sgradito del fatto che, dopo aver completato un lavoro, venga scosso uno dei fondamenti della sua costruzione. Sono stato messo in questa situazione da una lettera del signor Bertrand Russell, quando la stampa di questo volume stava per essere finita. [...] Ma veniamo al fatto! Il signor Russell ha scoperto una contraddizione che ora esporrò. Nessuno vorrà asserire, della classe degli uomini, che essa è un uomo. Abbiamo qui una classe che non appartiene a se stessa. Dico infatti che qualcosa appartiene a una classe se questo qualcosa cade sotto un concetto, la cui estensione è proprio la classe stessa. Fissiamo ora il concetto: classe che non appartiene a se stessa! L'estensione di questo concetto, ammesso che se ne possa parlare, è, per quanto detto, la classe delle classi che non appartengono a se stesse. Vogliamo chiamarla brevemente la classe K. Chiediamoci ora se questa classe K appartenga a se stessa! Supponiamo in primo luogo che essa appartenga a se stessa. Se qualcosa appartiene a una classe, cade sotto il concetto la cui estensione è la classe in esame, di conseguenza, se la nostra classe appartiene a se stessa, allora è una classe che non appartiene a se stessa. La nostra prima supposizione conduce quindi a una contraddizione. Supponiamo, in secondo luogo, che la nostra classe K non appartenga a se stessa: in questo caso essa cade sotto il concetto di cui essa stessa rappresenta l'estensione, quindi appartiene a se stessa: qui di nuovo abbiamo una contraddizione!»

Gli sforzi successivi di Frege per risolvere il paradosso non risultarono soddisfacenti, ma Frege continuò ad occuparsi di logica e filosofia della matematica fino a due anni prima della mortecite-ref-6[6] La conseguenza del paradosso di Russell è che la mwzgteoria degli insiemi sviluppata da mwzwGeorg Cantor e utilizzata da Frege può essere dimostrata internamente contraddittoria tramite la definizione di un insieme molto particolare: l'insieme che contiene tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elementi (mwaa"The set of all sets that do not contain themselves as members"). La definizione di questo insieme porta al paradosso che questo insieme contiene e non contiene se stesso, dimostrando che la definizione di insieme di Frege non poteva essere usata come fondamento certo della definizione del concetto di numero e quindi della matematica.

In continuità con il Logicismo di Frege, Russell si sarebbe cimentato assieme al collega mwawAlfred North Whitehead nel tentativo di superare la sua stessa antinomia, dando alla luce i tre ponderosi volumi dei mwbamwbqPrincipia Mathematica, pubblicati tra il mwbg1910 e il mwbw1913. Quest'opera rappresentò il più grandioso tentativo di realizzare il sogno fregeano di una fondazione logica della matematica, anzi lo spirito russelliano si dimostrò ancora più radicale di quello del suo predecessore nella misura in cui arrivò a coinvolgere la mwcageometria, precedentemente esclusa da Frege.

Approfondendo l'antinomia da lui scoperta, Russell giunge al problema dell'esistenza degli enti matematici. Che senso ha l'espressione «esiste un numero (un insieme, etc.) che gode di una determinata proprietà»? Il quesito suscita un contrasto tra una concezione descrittiva (per cui l'ente matematico esiste indipendentemente dai metodi per individuarlo) e una concezione costituiva (per cui l'ente matematico è il risultato di atti o processi dell'attività razionale) della matematica.

Ebbene, mwcwPoincaré chiama "impredicative" le definizioni che fanno riferimento alla totalità a cui l'ente da definire appartiene; e "predicative" le definizioni che non vi fanno riferimento. Il processo definitorio delle definizioni impredicative (che individua un ente riferendosi a totalità alle quali l'ente appartiene) è un problema in una concezione costitutiva, riferendosi a qualcosa di non ancora costruito.

Per evitar definizioni impredicative (e relative fallacie dell'autoriferimento) Russell elabora una mwdqteoria dei tipi: gerarchie di livelli degli enti logici, organizzati dai più semplici ai più complessi, definiti riferendosi ad enti già dati. (Livello 0: gli elementi. Livello 1: gli insiemi di elementi. Livello 2: gli insiemi di insiemi di elementi. E così via).

In tale teoria vale il principio del circolo vizioso: nessuna totalità può contener elementi definiti in termini di se stessa. Il problema del sistema logico che Russell è la sua debolezza: senza definizioni impredicative, la matematica costruibile su tale base logica è limitata; e richiede assiomi estranei allo spirito sia predicativista sia logicista di partenza. Un esempio è l'assioma dell'infinito (esiste un tipo a cui appartengono infiniti individui distinti), senza cui si avrebbe l'esistenza di n individui che renderebbero possibile costruire i numeri cardinali da 0 a n, ma n+1 sarebbe una classe nulla, di conseguenza n+1 e tutti i successivi numeri naturali sarebbero tutti identici (cioè 0), il che sarebbe una catastrofe aritmetica.

La riduzione logicista della mweateoria dei tipi fu dunque raggiunta da Russell a costo di alcune forzature, che negli anni a seguire provocarono il progressivo disfacimento del sistema eretto nei mweqPrincipia. Punti deboli della sistemazione russelliana si rivelarono:

• il predicativismo della logica declinata da Russell nella mwfqteoria dei tipi a fronte del non predicativismo della matematica;

• l'mwfwassioma dell'infinito, per cui esiste un tipo a cui appartengono infiniti individui distinti;

• l'mwgqassioma della scelta o mwggmoltiplicativo.

Russell fallisce così nella ricerca di un compromesso tra l'ideale predicativista di Poincaré (legato alla concezione costitutiva della matematica) e l'ideale logicista di Frege (legato alla concezione descrittiva della matematica).

Nonostante gli sforzi di mwhgFrank Plumpton Ramsey, il programma logicista si inaridì e venne soppiantato da altri approcci al problema dei fondamenti della matematica, quali il Formalismo di mwhwHilbert o l'mwiaIntuizionismo di mwiqPoincaré e mwigBrouwer. Il Neologicismo, proposto tra gli altri da Crispin Wright, tenta di rianimare il programma logicista.

Il Logicismo si avviò ad essere superato quando gli intuizionisti cominciarono a sostenere l'impossibilità di fondare la matematica sulla logica: secondo loro, il tentativo di ridurre la matematica alla logica fallisce perché la logica da sola non è sufficiente. Il Logicismo adopera anche concetti dalla teoria degli insiemi, la quale è mwjgontologicamente più ricca della mera logica. Non esiste comunque una necessità a priori che garantisca l'esistenza dei vari livelli di insiemi e insiemi di insiemi presupposti da Cantor, Frege e Russell.

Successivamente al mwka1930 il punto di vista formalista entrò in declino, sia per la scoperta di mwkqKurt Gödel dei mwkgteoremi di incompletezza che per l'emergere della mwkwteoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel, che ha rimpiazzato la teoria dei tipi di Russell come la più promettente teoria fondazionale per la matematica.cite-ref-7[7] Secondo i teoremi di incompletezza di Gödel, ogni sistema sufficientemente complesso da fondare l'aritmetica è mwmaipso facto o incompleto o incoerente, e inoltre non è in grado di dimostrare la sua stessa validità.

cite-note-0-11. ↑ citereftreccani-logicismo-enciclopedia-della-matematicamwpqmwpgLogicismo, in mwpwEnciclopedia della Matematica, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

cite-note-1-22. ↑ mwrqmwrgmwrwLogicismo, su mwsasapere.it.

cite-note-33. ↑ mwtamwtqmwtgWhitehead, Alfred North, su mwtwtreccani.it.

cite-note-44. ↑ Ci sono molte ridondanze lessicali che indicano questo concetto: ugualmente numeroso; equipotenza; equipollenza; etc...

cite-note-55. ↑ Per essere esatti Frege definisce il numero come una "mwvgclasse di classi"; però pone che la classe sia individuata da una totalità di oggetti. E oggi si dice insieme una collezione di elementi individuabile dalla totalità degli elementi stessi, e considerabile essa stessa come un elemento (nell'insieme di insiemi, gli insiemi sono appunto degli elementi). Tutti gli insiemi sono classi, ma non tutte le classi sono insiemi. Ad esempio non è un insieme la classe delle stelle visibili in cielo, in cui ci sono elementi che si aggiungono e si sottraggono nel corso di un processo di enumerazione.

cite-note-66. ↑ mwwgmwwwplato.stanford.edu, mwxahttps://plato.stanford.edu/entries/fregemwxq Titolo mancante per url mwxgurl (aiuto).

cite-note-77. ↑ mwzamwzqplato.stanford.edu, mwzghttps://plato.stanford.edu/entries/logicism/#NeoFremwzw Titolo mancante per url mw0aurl (aiuto).

• mw1wGeorg Cantor, mw2aGrundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen., Lipsia, B. G. Teubner.

• mw2gRichard Dedekind, mw2wStetigkeit und irrationale Zahlen, 1872.

• Richard Dedekind, mw3qWas sind und was sollen die Zahlen? Braunschweig, 1888.

• mw3wGottlob Frege, mw4aBegriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle a. S., 1879.

• Gottlob Frege, mw4gDie Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl, Breslau, 1884.

• Gottlob Frege, mw5aGrundgesetze der Arithmetik, Jena, Hermann Pohle, Band I (1893), Band II (1903).

• mw5gHermann von Helmholtz, «Zählen und Messen», mw5wPhilosophische Aufsätze, mw6aEduard Zeller gewidmet, 1887.

• mw6gDavid Hilbert, mw6wGrundlagen der Geometrie, 1899.

• mw7qGiuseppe Peano, mw7gArithmetices principia, nova methodo exposita, Torino, Bocca, 1889.

• mw8aBertrand Russell mw8qThe Principles of Mathematics, Cambridge, University Press, 1903.

• Bertrand Russell e mw8wAlfred North Whitehead, mw9aPrincipia Mathematica, Cambridge, University Press, 3 voll., 1910, 1912, 1913.

• mw9gPhilosophy of Mathematics - selected readings, Cambridge, University Press, Benacerraf & Putnam, 1983mw9w2.

Cioffi

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• citerefmaraschiniWalter Maraschini e Mauro Palma, ForMat, Spe, Paravia, 2002, vol. 3, ISBN 88-395-1435-X.

• citerefodifreddiP. Odifreddi, Il diavolo in cattedra, Einaudi, 2003, ISBN 88-06-18137-8.

Altri progetti

• Wikizionario

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «logicismo»

• citerefbritannica-com(EN) logicism, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

• citerefstanford-encyclopedia-of-philosophy(EN) Tennant, Neil, Logicism and Neologicism, su Stanford Encyclopedia of Philosophy, 21 agosto 2013.